Задача Кузнецов Пределы 3-31(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 3-31

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \frac{n \sqrt[6]{n} + \sqrt[3]{32n^{10}+1}} {\left( {n+\sqrt[4]{n}} \right)\sqrt[3]{n^3-1}}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \frac{n \sqrt[6]{n} + \sqrt[3]{32n^{10}+1}} {\left( {n+\sqrt[4]{n}} \right)\sqrt[3]{n^3-1}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}\left(n \sqrt[6]{n} + \sqrt[3]{32n^{10}+1}\right)} {\frac{1}{n^2}\left( {n+\sqrt[4]{n}} \right)\sqrt[3]{n^3-1}} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[6]{\frac{1}{n^5}} + \sqrt[3]{32n^{4}+\frac{1}{n^6}}} {\left(\frac{1}{n}\left( {n+\sqrt[4]{n}} \right)\right)\left(\frac{1}{n}\sqrt[3]{n^3-1}\right)} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[6]{\frac{1}{n^5}} + \sqrt[3]{32n^{4}+\frac{1}{n^6}}} {\left({1+\sqrt[4]{\frac{1}{n^3}}}\right)\sqrt[3]{1-\frac{1}{n^3}}} =\left \{\frac{\sqrt[6]{0}+\sqrt[3]{\infty+0}}{\left(1+\sqrt[4]{0}\right)\sqrt[3]{1-0}} = \frac{\infty}{1}\right \}=\infty$