Задача Кузнецов Пределы 3-5(2)

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 3-5

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{3n-1} -\sqrt[3]{125n^3+n}}{\sqrt[3]{n}-n}$

Решение

$\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{3n-1} -\sqrt[3]{125n^3+n}}{\sqrt[3]{n}-n} = \lim_{n \to \infty } \frac{\frac {1} {n}\left(\sqrt{3n-1} -\sqrt[3]{125n^3+n}\right)}{\frac{1}{n}\left(\sqrt[3]{n}-n\right)} =$

$= \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{\frac{3} {n} -\frac {1} {n^2}} -\sqrt[3]{125+\frac {1} {n^2}}}{\sqrt[3]{\frac{1} {n^2}}-1} = \frac {\sqrt{0-0} - \sqrt[3]{125+0}} {\sqrt[3]{0}-1}=\frac{-5}{-1} =5$