Задача Кузнецов Пределы 4-19

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^3+8} \left(\sqrt {n^3+2} - \sqrt{n^3-1}\right)$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^3+8} \left(\sqrt {n^3+2} - \sqrt{n^3-1}\right)=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^3+8} \left(\sqrt {n^3+2} - \sqrt{n^3-1}\right)\left(\sqrt {n^3+2} + \sqrt{n^3-1}\right)}{\sqrt {n^3+2} + \sqrt{n^3-1}}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^3+8} \left(n^3+2-\left(n^3-1\right)\right)}{\sqrt {n^3+2} + \sqrt{n^3-1}}= \lim_{n\to \infty} \frac{3\sqrt{n^3+8}}{\sqrt {n^3+2} + \sqrt{n^3-1}}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}3\sqrt{n^3+8}}{\frac{1}{n}\left(\sqrt {n^3+2} + \sqrt{n^3-1}\right)}= \lim_{n\to \infty} \frac{3\sqrt{1+\frac{8}{n^3}}}{\sqrt {1 + \frac{2}{n^3}} + \sqrt{1-\frac{1}{n^3}}}=$

$=\frac{3\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac{3}{2}$