Задача Кузнецов Пределы 4-29

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} n\left(\sqrt{n^4+3} - \sqrt {n^4-2}\right)$

Решение

$\lim_{n\to \infty} n\left(\sqrt{n^4+3} - \sqrt {n^4-2}\right)=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac {n\left(\sqrt{n^4+3} - \sqrt {n^4-2}\right)\left(\sqrt{n^4+3} + \sqrt {n^4-2}\right)} {\sqrt{n^4+3} + \sqrt {n^4-2}} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac {n\left(n^4+3 - \left(n^4-2\right)\right)} {\sqrt{n^4+3} + \sqrt {n^4-2}} = \lim_{n\to \infty} \frac {5n} {\sqrt{n^4+3} + \sqrt {n^4-2}} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac {\frac{1}{n^2}5n} {\frac{1}{n^2}\left(\sqrt{n^4+3} + \sqrt {n^4-2}\right)} = \lim_{n\to \infty} \frac {\frac{5}{n}} {\sqrt{1 + \frac{3}{n^4}} + \sqrt {1 - \frac {2}{n^4}}} =$

$= \frac {0} {\sqrt{1 + 0} + \sqrt {1 - 0}} =0$