Задача Кузнецов Пределы 4-3

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(n-\sqrt[3]{n^3-5}\right)n\sqrt{n}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(n-\sqrt[3]{n^3-5} \right)n\sqrt{n} =$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{\left(n-\sqrt[3]{n^3-5}\right)\left(n^2+n\sqrt[3]{n^3-5}+\sqrt[3]{(n^3-5)^2}\right)n\sqrt{n}}{n^2+n\sqrt[3]{n^3-5}+\sqrt[3]{(n^3-5)^2}} =$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{\left(n^3-\left(n^3-5\right)\right)n\sqrt{n}}{n^2+n\sqrt[3]{n^3-5}+\sqrt[3]{(n^3-5)^2}} =$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{5n\sqrt{n}}{n^2+n\sqrt[3]{n^3-5}+\sqrt[3]{(n^3-5)^2}} =$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}5n\sqrt{n}}{\frac{1}{n^2}\left(n^2+n\sqrt[3]{n^3-5}+\sqrt[3]{(n^3-5)^2}\right)} =$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{5\sqrt{\frac{1}{n}}}{1+\sqrt[3]{\frac{1}{n^3}\left(n^3-5\right)}+\sqrt[3]{\frac{1}{n^6}(n^3-5)^2}} =$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{5\sqrt{\frac{1}{n}}}{1+\sqrt[3]{1 - \frac{5}{n^3}}+\sqrt[3]{(1 - \frac{5}{n^3})^2}} =\frac{5\sqrt{0}}{1+\sqrt[3]{1-0}+\sqrt[3]{(1-0)^2}}=0$