Задача Кузнецов Пределы 5-1

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+ \dots +\frac{n-1}{n^2} \right)$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+ \dots +\frac{n-1}{n^2} \right)=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1+2+3+ \dots +(n-1)}{n^2} \right)=$

$=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^2}\left(\frac{n(n-1)}{2} \right)= \lim_{n\to \infty} \frac{n-1}{2n}= \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}\left(n-1\right)}{\frac{1}{n}2n}= \lim_{n\to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{2}=$

$=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}$