Задача Кузнецов Пределы 5-29

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \frac {3+6+9+ \dots +3n} {n^2+4}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \frac {3+6+9+ \dots +3n} {n^2+4}= \lim_{n\to \infty} \frac {\left(\frac{(3+3n)n}{2}\right)} {n^2+4}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac {(3+3n)n} {2\left(n^2+4\right)}= \lim_{n\to \infty} \frac {\frac{1}{n^2}(3+3n)n} {\frac{1}{n^2}2\left(n^2+4\right)}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac {\frac{3}{n}+3} {2\left(1+\frac{4}{n^2}\right)}=\frac{0+3}{2(1+0)}=\frac{3}{2}$