Задача Кузнецов Пределы 5-3

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1+3+5+7+ \dots + (2n-1)} {n+1} - \frac{2n+1}{2} \right)$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1+3+5+7+ \dots + (2n-1)} {n+1} - \frac{2n+1}{2} \right)=$

$=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n+1}\cdot \frac{(1+ (2n-1))n} {2} - \frac{2n+1}{2} \right)=$

$=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n+1}\cdot \frac{2n^2} {2} - \frac{2n+1}{2} \right)= \lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2} {2(n+1)} - \frac{(2n+1)(n+1)}{2(n+1)} \right)=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{2n^2 - (2n+1)(n+1)}{2(n+1)}= \lim_{n\to \infty} \frac{2n^2 - (2n^2+2n+n+1)}{2(n+1)}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{2n^2 - 2n^2-2n-n-1}{2(n+1)}= \lim_{n\to \infty} \frac{-3n-1}{2(n+1)}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}\left(-3n-1\right)}{\frac{1}{n}2(n+1)}= \lim_{n\to \infty} \frac{-3-\frac{1}{n}} {2+\frac{2}{n}}= \frac{-3-0}{2+0}=-\frac{3}{2}$