Задача Кузнецов Пределы 5-31

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2+4+ \dots +2n}{n+3}-n \right)$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2+4+ \dots +2n}{n+3}-n \right)= \lim_{n\to \infty} \left(\frac{\left(\frac{(2+2n)n}{2}\right)}{n+3}-n \right)=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(\frac{(1+n)n}{n+3}-n \right)=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{(1+n)n}{n+3}-\frac{n(n+3)}{n+3} \right)=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{n+n^2 - n^2-3n}{n+3}= \lim_{n\to \infty} \frac{-2n}{n+3}=\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}\cdot(-2)n}{\frac{1}{n}(n+3)}=$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{-2}{1+ \frac{3}{n}}= -\frac{-2}{1+0}=-2$