Задача Кузнецов Пределы 6-1

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{n+1}{n-1} \right)^n$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{n+1}{n-1} \right)^n = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{n-1+2}{n-1} \right)^n =\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{n-1} \right)^n =$

$=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{n-1}{2}\right)} \right)^{\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(\frac{2}{n-1}\right)n} =$

$=\lim_{n\to \infty} \left(\left(1+\frac{1}{\left(\frac{n-1}{2}\right)} \right)^{\left(\frac{n-1}{2}\right)}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2}{n-1}\right)n} =$

={Используем второй замечательный предел}=

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2}{n-1}\right)n} = e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n}{n-1}} =e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}2n}{\frac{1}{n}(n-1)}} =$

$= e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2}{1-\frac{1}{n}}} = e^{\frac{2}{1-0}}=e^2$