Задача Кузнецов Пределы 6-19

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2+21n-7}{2n^2+18n+9}\right)^{2n+1}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2+21n-7}{2n^2+18n+9}\right)^{2n+1} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2+18n+9+3n-16}{2n^2+18n+9}\right)^{2n+1}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{3n-16}{2n^2+18n+9}\right)^{2n+1}= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{2n^2+18n+9}{3n-16}\right)}\right)^{2n+1}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{2n^2+18n+9}{3n-16}\right)}\right)^{\left(\frac{2n^2+18n+9}{3n-16}\right)\left(\frac{3n-16}{2n^2+18n+9}\right)(2n+1)}=$

$= \left(\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{2n^2+18n+9}{3n-16}\right)}\right)^{\left(\frac{2n^2+18n+9}{3n-16}\right)}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{3n-16}{2n^2+18n+9}\right)(2n+1)}=$

={Используем второй замечательный предел}=

$= e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(3n-16)(2n+1)}{2n^2+18n+9}}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}(3n-16)(2n+1)}{\frac{1}{n^2}\left(2n^2+18n+9\right)}}=$

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(3-\frac{16}{n})(2+\frac{1}{n})}{2+\frac{18}{n}+\frac{9}{n^2}}}= e^{\frac{(3-0)(2+0)}{2+0+0}} = e^3$