Задача Кузнецов Пределы 6-2

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac {2n+3} {2n+1} \right)^{n+1}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac {2n+3} {2n+1} \right)^{n+1} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac {2n+1+2} {2n+1} \right)^{n+1}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac {2} {2n+1} \right)^{n+1}= \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac {1} {\left(\frac{2n+1}{2}\right)} \right)^{n+1}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac {1} {\left(\frac{2n+1}{2}\right)} \right)^{\left(\frac{2n+1}{2}\right)\left(\frac{2}{2n+1}\right)(n+1)}=$

$= \left(\lim_{n\to \infty} \left(1 + \frac {1} {\left(\frac{2n+1}{2}\right)} \right)^{\frac{2n+1}{2}}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2}{2n+1}\right)(n+1)}=$

={Используем второй замечательный предел}=

$= e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2(n+1)}{2n+1}}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+2}{2n+1}}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{2n+1}\right)}=$

$=e^{(1+0)}=e$