Задача Кузнецов Пределы 6-29

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2+2n+3}{2n^2+2n+1}\right)^{3n^2-7}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2+2n+3}{2n^2+2n+1}\right)^{3n^2-7} = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{2n^2+2n+1+2}{2n^2+2n+1}\right)^{3n^2-7}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2}{2n^2+2n+1}\right)^{3n^2-7}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{2n^2+2n+1}{2}\right)}\right)^{3n^2-7}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{2n^2+2n+1}{2}\right)}\right)^{\left(\frac{2n^2+2n+1}{2}\right)\left(\frac{2}{2n^2+2n+1}\right)\left(3n^2-7\right)}=$

$= \left( \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{2n^2+2n+1}{2}\right)}\right)^{\left(\frac{2n^2+2n+1}{2}\right)}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2}{2n^2+2n+1}\right)\left(3n^2-7\right)}=$

={Используем второй замечательный предел}=

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2}{2n^2+2n+1}\right)\left(3n^2-7\right)}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{6n^2-14}{2n^2+2n+1}}=$

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}\left(6n^2-14\right)}{\frac{1}{n^2}\left(2n^2+2n+1\right)}}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{6-\frac{14}{n^2}}{2+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}=e^{\frac{6-0}{2+0+0}}=e^3$