Задача Кузнецов Пределы 6-3

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac {n^2-1} {n^2} \right)^{n^4}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac {n^2-1} {n^2} \right)^{n^4}= \lim_{n\to \infty} \left(\frac {n^2} {n^2-1} \right)^{-n^4}=$

$= \lim_{n\to \infty} \left(\frac {n^2-1+1} {n^2-1} \right)^{-n^4}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac {1} {n^2-1} \right)^{-n^4}=$

$=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac {1} {n^2-1} \right)^{\left(n^2-1\right)\left(\frac {1} {n^2-1}\right)\left(-n^4\right)}=$

$=\left(\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac {1} {n^2-1} \right)^{\left(n^2-1\right)}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac {1} {n^2-1}\right)\left(-n^4\right)}=$

={Используем второй замечательный предел}=

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac {1} {n^2-1}\right)\left(-n^4\right)}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac {n^4} {1-n^2}}=$

$= e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac {\frac{1}{n^2}n^4} {\frac{1}{n^2}\left(1-n^2\right)}}= e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac {n^2} {\frac{1}{n^2}-1}}=$

$= \left\{e^{\frac {\infty} {0-1}}=e^{-\infty}=\left(\frac{1}{e}\right)^{\infty}\right\}=0$