Задача Кузнецов Пределы 6-31

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{4n^2+4n-1}{4n^2+2n+3} \right)^{1-2n}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \left(\frac{4n^2+4n-1}{4n^2+2n+3} \right)^{1-2n}=\lim_{n\to \infty} \left(\frac{4n^2+2n+3+2n-4}{4n^2+2n+3} \right)^{1-2n}=$

$=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{2n-4}{4n^2+2n+3} \right)^{1-2n}=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{4n^2+2n+3}{2n-4}\right)} \right)^{1-2n}=$

$=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{4n^2+2n+3}{2n-4}\right)} \right)^{\left(\frac{4n^2+2n+3}{2n-4}\right)\left(\frac{2n-4}{4n^2+2n+3}\right)(1-2n)}=$

$=\left(\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{\left(\frac{4n^2+2n+3}{2n-4}\right)} \right)^{\left(\frac{4n^2+2n+3}{2n-4}\right)}\right)^{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{2n-4}{4n^2+2n+3}\right)(1-2n)}=$

={Используем второй замечательный предел}=

$= e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(2n-4)(1-2n)}{4n^2+2n+3}}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n-4n^2-4+8n}{4n^2+2n+3}}=$

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{-4n^2+10n-4}{4n^2+2n+3}}=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2}\left(-4n^2+10n-4\right)}{\frac{1}{n^2}\left(4n^2+2n+3\right)}}=$

$=e^{\lim\limits_{n\to \infty} \frac{-4+\frac{10}{n}-\frac{4}{n^2}}{4+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}}= e^{\frac{-4+0-0}{4+0+0}}= e^{-1}=\frac{1}{e}$