Задача Кузнецов Пределы 7-3

Условие задачи

Доказать, что (найти $\delta \left(\varepsilon \right)$):

$\lim_{x\to -2} \frac{3x^2+5x-2}{x+2}=-7$

Решение

Согласно определению предела функции по Коши:
если дана функция $f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$, если

$\forall \varepsilon>0: \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in M: \quad (0<|x-a|<\delta(\varepsilon) ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).$

Следовательно, необходимо доказать, что при произвольном $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta(\varepsilon)$, для которого будет выполняться неравенство:

$\left|\frac{3x^2+5x-2}{x+2}-(-7)\right| < \varepsilon$, если выполнено $\left|x-(-2)\right|<\delta(\varepsilon).$

При $x \ne -2$:

$\left|\frac{3x^2+5x-2}{x+2}-(-7)\right| = \left|\frac{(3x-1)(x+2)}{x+2}+7\right|=$

$= \left|3x-1+7\right|=\left|3x +6\right|=3\left|x +2\right|< \varepsilon$

или

$\left|x + 2\right|< \frac{\varepsilon}{3}$

$\left|x -(-2)\right|< \frac{\varepsilon}{3}$

Таким образом, при произвольном $\varepsilon>0$ неравенство

$\left|\frac{3x^2+5x-2}{x+2}-(-7)\right| < \varepsilon$ будет выполняться, если будет выполняться неравенство $\left|x-(-2)\right|<\delta(\varepsilon)$, где $\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{3}$.

Следовательно, при $x\to -2$ предел функции существует и равен -7, а $\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{3}$.