Задача Кузнецов Пределы 7-31

Условие задачи

Доказать, что (найти $\delta \left(\varepsilon \right)$):

$\lim_{x\to \frac{1}{3}} \frac{15x^2-2x-1}{x-\frac{1}{3}}=8$

Решение

Согласно определению предела функции по Коши:
если дана функция $f:M \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ и $a\in M'$ — предельная точка множества $M.$ Число $A\in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ при $x,$ стремящемся к $a$ $(x \to a)$, если

$\forall \varepsilon>0: \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall x \in M: \quad (0<|x-a|<\delta(\varepsilon) ) \Rightarrow (|f(x) - A| < \varepsilon).$

Следовательно, необходимо доказать, что при произвольном $\varepsilon>0$ найдется такое $\delta(\varepsilon)$, для которого будет выполняться неравенство:

$\left|\frac{15x^2-2x-1}{x-\frac{1}{3}}-8\right| < \varepsilon$, если выполнено $\left|x-\frac{1}{3}\right|<\delta(\varepsilon).$

При $x \ne \frac{1}{3}$:

$\left|\frac{15x^2-2x-1}{x-\frac{1}{3}}-8\right| = \left|\frac{(15x+3)\left(x-\frac{1}{3}\right)}{x-\frac{1}{3}}-8\right|=$

$= \left|15x + 3 - 8\right|=\left|15x - 5\right|=15\left|x - \frac{1}{3}\right|< \varepsilon$

или

$\left|x - \frac{1}{3}\right|< \frac{\varepsilon}{15}$

Таким образом, при произвольном $\varepsilon>0$ неравенство

$\left|\frac{15x^2-2x-1}{x-\frac{1}{3}}-8\right| < \varepsilon$ будет выполняться, если будет выполняться неравенство $\left|x-\frac{1}{3}\right|<\delta(\varepsilon)$, где $\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{15}$.

Следовательно, при $x\to \frac{1}{3}$ предел функции существует и равен 8, а $\delta(\varepsilon)=\frac{\varepsilon}{15}$.