Задача Кузнецов Пределы 8-2

Условие задачи

Доказать, что функция $f\left(x\right)$ непрерывна в точке $x_0$ (найти $\delta \left( \varepsilon \right)$):

$f\left(x\right)=4x^2-2,\ x_0 =5$

Решение

По определению функция $f(x)$ непрерывна в точке $x=x_0$, если $\forall \varepsilon > 0:\; \exists \delta(\varepsilon) > 0:$.

$|x-x_0| < \delta(\varepsilon) \; \Rightarrow \; |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

Покажем, что при любом $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta(\varepsilon) > 0$, что $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ при $|x-x_0| < \delta(\varepsilon)$.

$|f(x)-f(x_0)| =|f(x)-f(5)| =$

$= |\left(4x^2-2\right)-\left(4\cdot 5^2 - 2\right)|= |4x^2-2-4\cdot 25+2|=$

$= |4x^2-4\cdot 25| = 4|x^2 - 25| < \varepsilon$

Следовательно:

$|x^2 - 25| < \frac{\varepsilon}{4}$

$|(x-5)(x+5)| < \frac{\varepsilon}{4} \; \Rightarrow \; |x-5| < \frac{\varepsilon}{4}$

Т.е. неравенство $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ выполняется при $|x-x_0| < \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{4}$. Значит, функция непрерывна в точке $x_0 =5$ и $\delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{4}$.