Задача Кузнецов Пределы 8-3

Условие задачи

Доказать, что функция $f\left(x\right)$ непрерывна в точке $x_0$ (найти $\delta \left( \varepsilon \right)$):

$f\left( x \right)=3x^2-3,\ x_0 =4$

Решение

По определению функция $f(x)$ непрерывна в точке $x=x_0$, если $\forall \varepsilon > 0:\; \exists \delta(\varepsilon) > 0:$.

$|x-x_0| < \delta(\varepsilon) \; \Rightarrow \; |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

Покажем, что при любом $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta(\varepsilon) > 0$, что $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ при $|x-x_0| < \delta(\varepsilon)$.

$|f(x)-f(x_0)| =|f(x)-f(4)| =$

$= |\left(3x^2-3\right)-\left(3\cdot 4^2 - 3\right)|= |3x^2-3-3\cdot 16+3|=$

$= |3x^2-3\cdot 16| = 3|x^2 - 16| < \varepsilon$

Следовательно:

$|x^2 - 16| < \frac{\varepsilon}{3}$

$|(x-4)(x+4)| < \frac{\varepsilon}{3} \; \Rightarrow \; |x-4| < \frac{\varepsilon}{3}$

Т.е. неравенство $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ выполняется при $|x-x_0| < \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{3}$. Значит, функция непрерывна в точке $x_0 =4$ и $\delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{3}$.