Задача Кузнецов Пределы 8-31

Условие задачи

Доказать, что функция $f\left(x\right)$ непрерывна в точке $x_0$ (найти $\delta \left( \varepsilon \right)$):

$f\left( x \right)=5x^2+5,\ x_0 =8$

Решение

По определению функция $f(x)$ непрерывна в точке $x=x_0$, если $\forall \varepsilon > 0:\; \exists \delta(\varepsilon) > 0:$.

$|x-x_0| < \delta(\varepsilon) \; \Rightarrow \; |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$

Покажем, что при любом $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta(\varepsilon) > 0$, что $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ при $|x-x_0| < \delta(\varepsilon)$.

$|f(x)-f(x_0)| =|f(x)-f(8)| =$

$= |\left(5x^2+5\right)-\left(5\cdot 8^2 + 5\right)|= |5x^2+5-5\cdot 64-5|=$

$= |5x^2-5\cdot 64| = 5|x^2 - 64| < \varepsilon$

Следовательно:

$|x^2 - 64| < \frac{\varepsilon}{5}$

$|(x-8)(x+8)| < \frac{\varepsilon}{5} \; \Rightarrow \; |x-8| < \frac{\varepsilon}{5}$

Т.е. неравенство $|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon$ выполняется при $|x-x_0| < \delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{5}$. Значит, функция непрерывна в точке $x_0 =8$ и $\delta(\varepsilon) = \frac{\varepsilon}{5}$.