Задачник Кузнецова Интегралы Задачи 13-16

Материал из PlusPi

Содержание

1 Задачи 13
2 Задачи 14
3 Задачи 15
4 Задачи 16

Задачи 13

Найти неопределенные интегралы.

Задача	Условие	Задача	Условие
13-1	$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[4]{x^3}}dx$	13-2	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt{x}}}{x\sqrt[3]{x^2}}dx$
13-3	$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt{x}}dx$	13-4	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[9]{x^4}}dx$
13-5	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x\sqrt[9]{x^8}}dx$	13-6	$\int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{x} \right)^2}}{x\sqrt[9]{x^5}}dx$
13-7	$\int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{x^2} \right)^2}}{x^2\cdot \sqrt[9]{x}}dx$	13-8	$\int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt{x} \right)^2}}{x\sqrt[6]{x^5}}dx$
13-9	$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x^2}dx$	13-10	$\int \frac{\sqrt{1+x}}{x^2\cdot \sqrt{x}}dx$
13-11	$\int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt{x}\right)^3}}{x\sqrt[8]{x^7}}dx$	13-12	$\int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^3}}{x\sqrt[12]{x^7}}dx$
13-13	$\int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt[3]{x^2}\right)^3}}{x^2\cdot \sqrt[6]{x}}dx$	13-14	$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt[4]{x^3}}}{x^2\cdot \sqrt[8]{x}}dx$
13-15	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x^3}}}{x^2}dx$	13-16	$\int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[4]{x^3}\right)^2}}{x^2\cdot \sqrt[4]{x}}dx$
13-17	$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt{x}\right)^4}}{x\sqrt[10]{x^9}}dx$	13-18	$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^4}}{x\sqrt[5]{x^3}}dx$
13-19	$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[3]{x^2} \right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x}}dx$	13-20	$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[4]{x^3}\right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[20]{x^7}}dx$
13-21	$\int \frac{\sqrt[5]{\left(1+\sqrt[5]{x^4}\right)^4}}{x^2\cdot \sqrt[25]{x^{11}}}dx$	13-22	$\int \frac{\sqrt{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x}}dx$
13-23	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x^4}}}{x^2\cdot \sqrt[15]{x}}dx$	13-24	$\int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[5]{x^4}\right)^2}}{x^2\cdot \sqrt[3]{x}}dx$
13-25	$\int \frac{\sqrt[4]{\left(1+\sqrt[5]{x^4}\right)^3}}{x^2\cdot \sqrt[5]{x^2}}dx$	13-26	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{x\sqrt[3]{x}}dx$
13-27	$\int \frac{\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[4]{x}\right)^2}}{x\sqrt[12]{x^5}}dx$	13-28	$\int \frac{\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[12]{x^5}}dx$
13-29	$\int \frac{\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x^2}}}{x\sqrt[6]{x^5}}dx$	13-30	$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[5]{x}}}{x\sqrt[15]{x^4}}dx$
13-31	$\int \frac{\sqrt[5]{1+\sqrt[3]{x}}}{x\sqrt[5]{x^2}}dx$

Задачи 14

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Задача	Условие	Задача	Условие
14-1	$y=(x-2)^3,\; y=4x-8$	14-2	$y=x\sqrt{9-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 3\right)$
14-3	$y=4-x^2,\; y=x^2-2x$	14-4	$y=\sin{x}\cdot \cos^{2}{x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)$
14-5	$y=\sqrt{4-x^2},\; y=0,\; x=0,\; x=1$	14-6	$y=x^2\sqrt{4-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 2\right)$
14-7	$y=\cos{x}\cdot \sin^{2}{x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)$	14-8	$y=\sqrt{e^x-1},\; y=0,\; x=\ln{2}$
14-9	$y=\frac{1}{x\sqrt{1+\ln{x}}},\; y=0,\; x=1,\; x=e^3$	14-10	$y=\arccos{x},\; y=0,\; x=0$
14-11	$y=(x+1)^2,\; y^2=x+1$	14-12	$y=2x-x^2+3,\; y=x^2-4x+3$
14-13	$y=x\sqrt{36-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 6\right)$	14-14	$x=\arccos{y},\; x=0,\; y=0$
14-15	$y=\operatorname{arctg}{x},\; y=0,\; x=\sqrt{3}$	14-16	$y=x^2\sqrt{8-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 2\sqrt{2} \right)$
14-17	$x=\sqrt{e^y-1},\; x=0,\; y=\ln{2}$	14-18	$y=x\sqrt{4-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 2\right)$
14-19	$y=\frac{x}{1+\sqrt{x}},\; y=0,\; x=1$	14-20	$y=\frac{1}{1+\cos{x}},\; y=0,\; x=\frac{\pi}{2},\; x=-\frac{\pi}{2}$
14-21	$x=(y-2)^3,\; x=4y-8$	14-22	$y=\cos^{5}{x}\cdot \sin{2x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)$
14-23	$y=\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2},\; y=0,\; x=1$	14-24	$x=4-y^2,\; x=y^2-2y$
14-25	$x=\frac{1}{y\sqrt{1+\ln{y}}},\; x=0,\; y=1,\; y=e^3$	14-26	$y=\frac{e^{1 / x}}{x^2},\; y=0,\; x=2,\; x=1$
14-27	$y=x^2\sqrt{16-x^2},\; y=0,\; \left(0\le x\le 4\right)$	14-28	$x=\sqrt{4-y^2},\; x=0,\; y=0,\; y=1$
14-29	$y=(x-1)^2,\; y^2=x-1$	14-30	$y=x^2\cdot \cos{x},\; y=0,\; \left(0\le x\le \frac{\pi}{2}\right)$
14-31	$x=4-(y-1)^2,\; x=y^2-4y+3$

Задачи 15

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

Задача	Условие	Задача	Условие
15-1	$\begin{cases} x=4\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t},\\ y=2\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t},\end{cases}$ $x=2\; \left(x\ge 2\right)$	15-2	$\begin{cases} x=\sqrt{2}\cdot \cos{t},\\ y=2\sqrt{2}\cdot \sin{t},\end{cases}$ $y=2\; \left(y\ge 2 \right)$
15-3	$\begin{cases} x=4\left(t- \sin{t} \right), \\ y=4\left(1-\cos{t} \right),\end{cases}$ $y=4\; \left(0<x<8\pi,\; y\ge 4\right)$	15-4	$\begin{cases} x=16\cos^{3}{t}, \\ y=2\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=2\; \left(x\ge 2\right)$
15-5	$\begin{cases} x=2\cos{t}, \\ y=6\sin{t}, \end{cases}$ $y=3\; \left(y\ge 3\right)$	15-6	$\begin{cases} x=2\left(t-\sin{t} \right), \\ y=2\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}$ $y=3\; \left(0<x<4\pi,\; y\ge 3 \right)$
15-7	$\begin{cases} x=16\cos^{3}{t}, \\ y=\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=6\sqrt{3}\; \left(x\ge 6\sqrt 3 \right)$	15-8	$\begin{cases} x=6\cos{t}, \\ y=2\sin{t}, \end{cases}$ $y=\sqrt{3}\; \left(y\ge \sqrt{3} \right)$
15-9	$\begin{cases} x=3\left(t-\sin{t} \right), \\ y=3\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}$ $y=3\; \left(0<x<6\pi,\; y\ge 3\right)$	15-10	$\begin{cases} x=8\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=4\; \left(x\ge 4\right)$
15-11	$\begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos{t},\\ y=3\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}$ $y=3\; \left(y\ge 3\right)$	15-12	$\begin{cases} x=6\left(t-\sin{t}\right), \\ y=6\left(1-\cos{t} \right), \end{cases}$ $y=9\; \left(0<x<12\pi,\; y\ge 9 \right)$
15-13	$\begin{cases} x=32\cos^{3}{t}, \\ y=\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=4\; \left(x\ge 4\right)$	15-14	$\begin{cases} x=3\cos{t}, \\ y=8\sin{t}, \end{cases}$ $y=4\; \left(y\ge 4\right)$
15-15	$\begin{cases} x=6\left(t-\sin{t}\right), \\ y=6\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}$ $y=6\; \left(0<x<12\pi,\; y\ge 6\right)$	15-16	$\begin{cases} x=8\cos^{3}{t}, \\ y=4\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=3\sqrt{3}\; \left(x\ge 3\sqrt{3}\right)$
15-17	$\begin{cases} x=6\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}$ $y=2\sqrt{3}\; \left(y\ge 2\sqrt{3} \right)$	15-18	$\begin{cases} x=10\left(t-\sin{t} \right), \\ y=10\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}$ $y=15\; \left(0<x<20\pi,\; y\ge 15\right)$
15-19	$\begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=1\; \left(x\ge 1\right)$	15-20	$\begin{cases} x=\sqrt{2}\cdot \cos{t}, \\ y=4\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}$ $y=4\; \left(y\ge 4\right)$
15-21	$\begin{cases} x=t-\sin{t}, \\ y=1-\cos{t}, \end{cases}$ $y=1\; \left(0<x<2\pi,\; y\ge 1\right)$	15-22	$\begin{cases} x=8\cos^{3}{t}, \\ y=8\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=1\; \left(x\ge 1\right)$
15-23	$\begin{cases} x=9\cos{t}, \\ y=4\sin{t}, \end{cases}$ $y=2\; \left(y\ge 2\right)$	15-24	$\begin{cases} x=8\left(t-\sin{t} \right), \\ y=8\left(1-\cos{t} \right), \end{cases}$ $y=12\; \left(0<x<16\pi,\; y\ge 12\right)$
15-25	$\begin{cases} x=24\cos^{3}{t}, \\ y=2\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=9\sqrt{3}\; \left(x\ge 9\sqrt{3}\right)$	15-26	$\begin{cases} x=3\cos{t}, \\ y=8\sin{t}, \end{cases}$ $y=4\sqrt{3}\; \left(y\ge 4\sqrt{3} \right)$
15-27	$\begin{cases} x=2\left(t-\sin{t}\right), \\ y=2\left(1-\cos{t}\right), \end{cases}$ $y=2\; \left(0<x<4\pi,\; y\ge 2\right)$	15-28	$\begin{cases} x=4\sqrt{2}\cdot \cos^{3}{t}, \\ y=\sqrt{2}\cdot \sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=2\; \left(x\ge 2\right)$
15-29	$\begin{cases} x=2\sqrt{2}\cdot \cos{t}, \\ y=5\sqrt{2}\cdot \sin{t}, \end{cases}$ $y=5\; \left(y\ge 5\right)$	15-30	$\begin{cases} x=4\left(t-\sin{t}\right), \\ y=4\left(1-\cos{t} \right), \end{cases}$ $y=6\; \left(0<x<8\pi,\ y\ge 6\right)$
15-31	$\begin{cases} x=32\cos^{3}{t}, \\ y=3\sin^{3}{t}, \end{cases}$ $x=12\sqrt{3}\; \left(x\ge 12\sqrt{3}\right)$

Задачи 16

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в полярных координатах.

Задача	Условие
16-1	$r=4\cos{3\phi},\; r=2\; (r\ge 2)$
16-2	$r=\cos{2\phi}$
16-3	$r=\sqrt{3}\cos{\phi} ,\; r=\sin{\phi},\; \left(0 \le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)$
16-4	$r=4\sin{3\phi},\; r=2\; (r\ge 2)$
16-5	$r=2\cos{\phi},\; r=2\sqrt{3}\sin{\phi},\; \left(0\le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)$
16-6	$r=\sin{3\phi}$
16-7	$r=6\sin{3\phi},\; r=3 \; (r\ge 3)$
16-8	$r=\cos{3\phi}$
16-9	$r=\cos{\phi},\; r=\sqrt{2}\sin{\left(\phi - \frac{\pi}{4}\right)},\; \left(-\frac{\pi}{4} \le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)$
16-10	$r=\sin{\phi},\; r=\sqrt{2}\cos{\left(\phi -\frac{\pi}{4}\right)},\; \left(0\le \phi \le \frac{3\pi}{4} \right)$
16-11	$r=6\cos{3\phi},\; r=3 \; (r\ge 3)$
16-12	$r=\frac{1}{2} + \sin{\phi}$
16-13	$r=\cos{\phi},\; r=\sin{\phi},\; \left(0\le \phi \le \frac{\pi}{2}\right)$
16-14	$r=\sqrt{2}\cos{\left(\phi - \frac{\pi}{4}\right)},\; r=\sqrt{2}\sin{\left(\phi - \frac{\pi}{4}\right)},\; \left(\frac{\pi}{4} \le \phi \le \frac{3\pi}{4}\right)$
16-15	$r=\cos{\phi},\; r=2\cos{\phi}$
16-16	$r=\sin{\phi},\; r=2\sin{\phi}$
16-17	$r=1+\sqrt{2}\cos{\phi}$
16-18	$r=\frac{1}{2} + \cos{\phi}$
16-19	$r=1+\sqrt{2}\sin{\phi}$
16-20	$r= \frac{5}{2}\sin{\phi},\; r=\frac{3}{2}\sin{\phi}$
16-21	$r=\frac{3}{2}\cos{\phi},\; r=\frac{5}{2}\cos{\phi}$
16-22	$r=4\cos{4\phi}$
16-23	$r=\sin{6\phi}$
16-24	$r=2\cos{\phi},\; r=3\cos{\phi}$
16-25	$r=\cos{\phi} + \sin{\phi}$
16-26	$r=2\sin{4\phi}$
16-27	$r=2\cos{6\phi}$
16-28	$r=\cos{\phi} -\sin{\phi}$
16-29	$r=3\sin{\phi},\; r=5\sin{\phi}$
16-30	$r=2\sin{\phi},\; r=4\sin{\phi}$
16-31	$r=6\sin{\phi},\; r=4\sin{\phi}$