Задачник Кузнецова Интегралы Задачи 17-19

Материал из PlusPi

Задача 17

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

Задача	Условие	Задача	Условие
17-1	$y=\ln{x},\; \sqrt{3} \le x\le \sqrt{15}$	17-2	$y=\frac{x^2}{4}-\frac{\ln{x}}{2},\; 1\le x\le 2$
17-3	$y=\sqrt{1-x^2} +\arcsin{x},\; 0\le x\le \frac{7}{9}$	17-4	$y=\ln{\frac{5}{2x}},\; \sqrt{3} \le x\le \sqrt{8}$
17-5	$y=-\ln{\cos{x}},\; 0\le x\le \frac{\pi}{6}$	17-6	$y=e^x+6,\; \ln{\sqrt{8}} \le x\le \ln{\sqrt{15}}$
17-7	$y=2+\arcsin{\sqrt{x}} +\sqrt{x-x^2},\; \frac{1}{4}\le x\le 1$	17-8	$y=\ln{\left(x^2-1\right)},\; 2\le x\le 3$
17-9	$y=\sqrt{1-x^2}+\arccos{x},\; 0\le x\le \frac{8}{9}$	17-10	$y=\ln{\left(1-x^2\right)},\; 0\le x\le \frac{1}{4}$
17-11	$y=2+\operatorname{ch}{x},\; 0\le x\le 1$	17-12	$y=1-\ln{\cos{x}},\; 0\le x\le \frac{\pi}{6}$
17-13	$y=e^x+13,\; \ln{\sqrt{15}} \le x\le \ln{\sqrt{24}}$	17-14	$y=-\arccos{\sqrt{x}} +\sqrt{x-x^2},\; 0\le x\le \frac{1}{4}$
17-15	$y=2-e^x,\; \ln{\sqrt{3}} \le x\le \ln{\sqrt{8}}$	17-16	$y=\arcsin{x}-\sqrt{1-x^2},\; 0\le x\le \frac{15}{16}$
17-17	$y=1-\ln{\sin{x}},\; \frac{\pi}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}$	17-18	$y=1-\ln{\left(x^2-1\right)},\; 3\le x\le 4$
17-19	$y=\sqrt{x-x^2}-\arccos{\sqrt{x}} +5,\; \frac{1}{9}\le x\le 1$	17-20	$y=-\arccos{x}+\sqrt{1-x^2}+1,\; 0\le x\le \frac{9}{16}$
17-21	$y=\ln{\sin{x}},\; \frac{\pi}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}$	17-22	$y=\ln{7}-\ln{x},\; \sqrt{3} \le x\le \sqrt{8}$
17-23	$y=\operatorname{ch}{x}+3,\; 0\le x\le 1$	17-24	$y=1+\arcsin{x}-\sqrt{1-x^2},\; 0\le x\le \frac{3}{4}$
17-25	$y=\ln{\cos{x}}+2,\; 0\le x\le \frac{\pi}{6}$	17-26	$y=e^x+26,\; \ln{\sqrt{8}} \le x\le \ln{\sqrt{24}}$
17-27	$y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}+3,\; 0\le x\le 2$	17-28	$y=\arccos{\sqrt{x}} -\sqrt{x-x^2}+4,\; 0\le x\le \frac{1}{2}$
17-29	$y=\frac{e^{2x}+e^{-2x}+3}{4},\; 0\le x\le 2$	17-30	$y=e^x+e,\; \ln{\sqrt{3}} \le x\le \ln{\sqrt{15}}$
17-31	$y=\frac{1-e^x-e^{-x}}{2},\; 0\le x\le 3$

Задача 18

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

Задача	Условие	Задача	Условие
18-1	$\begin{cases} x=5\left(t-\sin{t}\right) \\ y=5\left(1-\cos{t}\right) \end{cases}$ $0\le t\le \pi$	18-2	$\begin{cases} x=3\left(2\cos{t}-\cos{2t}\right) \\ y=3\left(2\sin{t}-\sin{2t}\right) \end{cases}$ $0\le t\le 2\pi$
18-3	$\begin{cases} x=4\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) \\ y=4\left(\sin{t}-t\cos{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le 2\pi$	18-4	$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}\end{cases}$ $0\le t\le \pi$
18-5	$\begin{cases} x=10\cos^{3}{t} \\ y=10\sin^{3}{t}\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{2}$	18-6	$\begin{cases} x=e^t\left(\cos{t}+\sin{t}\right) \\ y=e^t\left(\cos{t}-\sin{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \pi$
18-7	$\begin{cases} x=3\left(t-\sin{t}\right) \\ y=3\left(1-\cos{t}\right)\end{cases}$ $\pi \le t\le 2\pi$	18-8	$\begin{cases} x=\frac{1}{2}\cos{t}-\frac{1}{4}\cos{2t} \\ y=\frac{1}{2}\sin{t}-\frac{1}{4}\sin{2t}\end{cases}$ $\frac{\pi}{2} \le t\le \frac{2\pi}{3}$
18-9	$\begin{cases} x=3\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) \\ y=3\left(\sin{t}-t\cos{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{3}$	18-10	$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{3}$
18-11	$\begin{cases} x=6\cos^{3}{t} \\ y=6\sin^{3}{t}\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{3}$	18-12	$\begin{cases} x=e^t\left(\cos{t}+\sin{t}\right) \\ y=e^t\left(\cos{t}-\sin{t}\right)\end{cases}$ $\frac{\pi}{2}\le t\le \pi$
18-13	$\begin{cases} x=2{,}5\left(t-\sin{t}\right) \\ y=2{,}5\left(1-\cos{t}\right)\end{cases}$ $\frac{\pi}{2}\le t\le \pi$	18-14	$\begin{cases} x=3{,}5\left(2\cos{t}-\cos{2t}\right) \\ y=3{,}5\left(2\sin{t}-\sin{2t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{2}$
18-15	$\begin{cases} x=6\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) \\ y=6\left(\sin{t}-t\cos{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \pi$	18-16	$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{2}$
18-17	$\begin{cases} x=8\cos^{3}{t} \\ y=8\sin^{3}{t}\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{6}$	18-18	$\begin{cases} x=e^t\left(\cos{t}+\sin{t}\right) \\ y=e^t\left(\cos{t}-\sin{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le 2\pi$
18-19	$\begin{cases} x=4\left(t-\sin{t}\right) \\ y=4\left(1-\cos{t}\right)\end{cases}$ $\frac{\pi}{2} \le t\le 2\pi$	18-20	$\begin{cases} x=2\left(2\cos{t}-\cos{2t}\right) \\ y=2\left(2\sin{t}-\sin{2t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{3}$
18-21	$\begin{cases} x=8\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) \\ y=8\left(\sin{t}-t\cos{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{4}$	18-22	$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}\end{cases}$ $0\le t\le 2\pi$
18-23	$\begin{cases} x=4\cos^{3}{t} \\ y=4\sin^{3}{t}\end{cases}$ $\frac{\pi}{6}\le t\le \frac{\pi}{4}$	18-24	$\begin{cases} x=e^t\left(\cos{t}+\sin{t}\right) \\ y=e^t\left(\cos{t}-\sin{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{3\pi}{2}$
18-25	$\begin{cases} x=2\left(t-\sin{t}\right) \\ y=2\left(1-\cos{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{2}$	18-26	$\begin{cases} x=4\left(2\cos{t}-\cos{2t}\right) \\ y=4\left(2\sin{t}-\sin{2t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \pi$
18-27	$\begin{cases} x=2\left(\cos{t}+t\sin{t}\right) \\ y=2\left(\sin{t}-t\cos{t}\right)\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{2}$	18-28	$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t}\end{cases}$ $0\le t\le 3\pi$
18-29	$\begin{cases} x=2\cos^{3}{t} \\ y=2\sin^{3}{t}\end{cases}$ $0\le t\le \frac{\pi}{4}$	18-30	$\begin{cases} x=e^t\left(\cos{t}+\sin{t}\right) \\ y=e^t\left(\cos{t}-\sin{t}\right)\end{cases}$ $\frac{\pi}{6}\le t\le \pi \frac{\pi}{4}$
18-31	$\begin{cases} x=\left(t^2-2\right)\sin{t}+2t\cos{t} \\ y=\left(2-t^2\right)\cos{t}+2t\sin{t} \end{cases}$ $0\le t\le \pi$

Задача 19

Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

Задача	Условие	Задача	Условие
19-1	$\rho = 3e^{3\varphi / 4},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$	19-2	$\rho = 2e^{4\varphi / 3},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$
19-3	$\rho =\sqrt{2} e^{\varphi},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$	19-4	$\rho = 5e^{5\varphi / 12},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$
19-5	$\rho = 6e^{12\varphi / 5},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le \frac{\pi}{2}$	19-6	$\rho = 3e^{3\varphi / 4},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$
19-7	$\rho = 4e^{4\varphi / 3},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$	19-8	$\rho = \sqrt{2}e^{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$
19-9	$\rho = 5e^{5\varphi / 12},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$	19-10	$\rho = 12e^{12\varphi / 5},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$
19-11	$\rho = 1-\sin{\varphi},\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le -\frac{\pi}{6}$	19-12	$\rho = 2\left(1-\cos{\varphi}\right),\; -\pi \le \varphi \le -\frac{\pi}{2}$
19-13	$\rho = 3\left(1+\sin{\varphi}\right),\; -\frac{\pi}{6} \le \varphi \le 0$	19-14	$\rho = 4\left(1-\sin{\varphi}\right),\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}$
19-15	$\rho = 5\left(1-\cos{\varphi}\right),\; -\frac{\pi}{3} \le \varphi \le 0$	19-16	$\rho = 6\left(1+\sin{\varphi}\right),\; -\frac{\pi}{2} \le \varphi \le 0$
19-17	$\rho = 7\left(1-\sin{\varphi}\right),\; -\frac{\pi}{6} \le \varphi \le \frac{\pi}{6}$	19-18	$\rho = 8\left(1-\cos{\varphi}\right),\; -\frac{2\pi}{3} \le \varphi \le 0$
19-19	$\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{3}{4}$	19-20	$\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{4}{3}$
19-21	$\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{5}{12}$	19-22	$\rho = 2\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{12}{5}$
19-23	$\rho = 4\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{3}{4}$	19-24	$\rho = 3\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{4}{3}$
19-25	$\rho = 5\varphi,\; 0 \le \varphi \le \frac{12}{5}$	19-26	$\rho = 2\cos{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}$
19-27	$\rho = 8\cos{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}$	19-28	$\rho = 6\cos{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$
19-29	$\rho = 2\sin{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{6}$	19-30	$\rho = 8\sin{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{4}$
19-31	$\rho = 6\sin{\varphi},\; 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{3}$