Задачник Кузнецова Интегралы Задачи 20-22

Задача 20

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Задача	Условие	Задача	Условие
20-1	$\frac{x^2}{9}+y^2=1,\; z=y,\; z=0\; (y\ge 0)$	20-2	$z=x^2+4y^2,\; z=2$
20-3	$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-z^2=1,\; z=0,\; z=3$	20-4	$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{36}=-1,\; z=12$
20-5	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1,\; z=1,\; z=0$	20-6	$x^2+y^2=9,\; z=y,\; z=0\; (y\ge 0)$
20-7	$z=x^2+9y^2,\; z=3$	20-8	$\frac{x^2}{4}+y^2-z^2=1,\; z=0,\; z=3$
20-9	$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}-\frac{z^2}{64}=-1,\; z=16$	20-10	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1,\; z=2,\; z=0$
20-11	$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1,\; z=y\sqrt{3},\; z=0\; (y\ge 0)$	20-12	$z=2x^2+8y^2,\; z=4$
20-13	$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{25}-z^2=1,\; z=0,\; z=2$	20-14	$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{36}=-1,\; z=12$
20-15	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{36}=1,\; z=3,\; z=0$	20-16	$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{16}=1,\; z=y\sqrt{3},\; z=0\; (y\ge 0)$
20-17	$z=x^2+5y^2,\; z=5$	20-18	$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-z^2=1,\; z=0,\; z=4$
20-19	$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}-\frac{z^2}{100}=-1,\; z=20$	20-20	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{64}=1,\; z=4,\; z=0$
20-21	$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{25}=1,\; z=\frac{y}{\sqrt{3}},\; z=0\; (y\ge 0)$	20-22	$z=4x^2+9y^2,\; z=6$
20-23	$x^2+\frac{y^2}{4}-z^2=1,\; z=0,\; z=3$	20-24	$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{100}=-1,\; z=20$
20-25	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{100}=1,\; z=5,\; z=0$	20-26	$\frac{x^2}{27}+y^2=1,\; z=\frac{y}{\sqrt{3}},\; z=0\; (y\ge 0)$
20-27	$z=2x^2+18y^2,\; z=6$	20-28	$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}-z^2=1,\; z=0,\; z=2$
20-29	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}-\frac{z^2}{64}=-1,\; z=16$	20-30	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{144}=1,\; z=6,\; z=0$
20-31	$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{196}=1,\; z=7,\; z=0$

Задача 21

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах 1–16 ось вращения $Ox$, в вариантах 17–31 ось вращения $Oy$.

Задача	Условие	Задача	Условие
21-1	$y=-x^2+5x-6,\; y=0$	21-2	$2x-x^2-y=0,\; 2x^2-4x+y=0$
21-3	$y=3\sin{x},\; y=\sin{x},\; 0\le x\le \pi$	21-4	$y=5\cos{x},\; y=\cos{x},\; x=0,\; x\ge 0$
21-5	$y=\sin^{2}{x},\; x=\frac{\pi}{2},\; y=0$	21-6	$x=\sqrt[3]{y-2},\; x=1,\; y=1$
21-7	$y=x e^x,\; y=0,\; x=1$	21-8	$y=2x-x^2,\; y=-x+2,\; x=0$
21-9	$y=2x-x^2,\; y=-x+2$	21-10	$y=e^{1-x},\; y=0,\; x=0,\; x=1$
21-11	$y=x^2,\; y^2-x=0$	21-12	$x^2+(y-2)^2=1$
21-13	$y=1-x^2,\; x=0,\; x=\sqrt{y-2},\; x=1$	21-14	$y=x^2,\; y=1,\; x=2$
21-15	$y=x^3,\; y=\sqrt{x}$	21-16	$y=\sin{\frac{\pi x}{2}},\; y=x^2$
21-17	$y=\arccos{\frac{x}{3}},\; y=\arccos{x},\; y=0$	21-18	$y=\arcsin{\frac{x}{5}},\; y=\arcsin{x},\; y=\frac{\pi}{2}$
21-19	$y=x^2,\; x=2,\; y=0$	21-20	$y=x^2+1,\; y=x,\; x=0,\; y=0$
21-21	$y=\sqrt{x-1},\; y=0,\; y=1,\; x=0{,}5$	21-22	$y=\ln{x},\; x=2,\; y=0$
21-23	$y=(x-1)^2,\; y=1$	21-24	$y^2=x-2,\; y=0,\; y=x^3,\; y=1$
21-25	$y=x^3,\; y=x^2$	21-26	$y=\arccos{\frac{x}{5}},\; y=\arccos{\frac{x}{3}},\; y=0$
21-27	$y=\arcsin{x},\; y=\arccos{x},\; y=0$	21-28	$y=x^2-2x+1,\; x=2,\; y=0$
21-29	$y=x^3,\; y=x$	21-30	$y=\arccos{x},\; y=\arcsin{x},\; x=0$
21-31	$y=(x-1)^2,\; x=0,\; x=2,\; y=0$

В этой категории варианты , раздела "Интегралы" в задачнике Кузнецова Л.А.

Задача 22

Варианты 1-10

Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (см. рис.). Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³, ускорение свободного падения $g$ положить равным 10 м/с².
Указание: Давление на глубине $x$ равно $\rho gx$ .

Задача	Условие
22-1	$a=4{,}5$ м	$b=6{,}6$ м	$h=3{,}0$ м
22-2	$a=4{,}8$ м	$b=7{,}2$ м	$h=3{,}0$ м
22-3	$a=5{,}1$ м	$b=7{,}8$ м	$h=3{,}0$ м
22-4	$a=5{,}4$ м	$b=8{,}4$ м	$h=3{,}0$ м
22-5	$a=5{,}7$ м	$b=9{,}0$ м	$h=4{,}0$ м
22-6	$a=6{,}0$ м	$b=9{,}6$ м	$h=4{,}0$ м
22-7	$a=6{,}3$ м	$b=10{,}2$ м	$h=4{,}0$ м
22-8	$a=6{,}6$ м	$b=10{,}8$ м	$h=4{,}0$ м
22-9	$a=6{,}9$ м	$b=11{,}4$ м	$h=5{,}0$ м
22-10	$a=7{,}2$ м	$b=12{,}0$ м	$h=5{,}0$ м

Варианты 11-20

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту $H$ км. Масса спутника равна $m$ т, радиус Земли $R_3 = 6380$ км. Ускорение свободного падения $g$ у поверхности Земли положить равным 10 м/с².

Задача	Условие
22-11	$m=7{,}0$ т	$H=200$ км
22-12	$m=7{,}0$ т	$H=250$ км
22-13	$m=6{,}0$ т	$H=300$ км
22-14	$m=6{,}0$ т	$H=350$ км
22-15	$m=5{,}0$ т	$H=400$ км
22-16	$m=5{,}0$ т	$H=450$ км
22-17	$m=4{,}0$ т	$H=500$ км
22-18	$m=4{,}0$ т	$H=550$ км
22-19	$m=3{,}0$ т	$H=600$ км
22-20	$m=3{,}0$ т	$H=650$ км

Варианты 21-31

Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на $h$ м (см. рис.).
Указание: Уравнение состояния газа $\rho V = const$, где $\rho$ – давление, $V$ – объем.

Задача	Условие
22-21	$H=0{,}4$ м	$h=0{,}35$ м	$R=0{,}1$ м
22-22	$H=0{,}4$ м	$h=0{,}3$ м	$R=0{,}1$ м
22-23	$H=0{,}4$ м	$h=0{,}2$ м	$R=0{,}1$ м
22-24	$H=0{,}8$ м	$h=0{,}7$ м	$R=0{,}2$ м
22-25	$H=0{,}8$ м	$h=0{,}6$ м	$R=0{,}2$ м
22-26	$H=0{,}8$ м	$h=0{,}4$ м	$R=0{,}2$ м
22-27	$H=1{,}6$ м	$h=1{,}4$ м	$R=0{,}3$ м
22-28	$H=1{,}6$ м	$h=1{,}2$ м	$R=0{,}3$ м
22-29	$H=1{,}6$ м	$h=0{,}8$ м	$R=0{,}3$ м
22-30	$H=2{,}0$ м	$h=1{,}5$ м	$R=0{,}4$ м
22-31	$H=2{,}0$ м	$h=1{,}0$ м	$R=0{,}4$ м